1、会计学1二项式展开式系数的性质二项式展开式系数的性质：性性质质1等。等。的两项的二项式系数相的两项的二项式系数相末两端“等距离”末两端“等距离”的二项展开式中，与首的二项展开式中，与首nba)( ：性性质质2n2二项式系数的和等于二项式系数的和等于的二项展开式中，所有的二项展开式中，所有nba)( nn1n0nCCC21ba n则则分析：令分析：令,：性性质质3和和偶数项的二项式系数的偶数项的二项式系数的于于项的二项式系数的和等项的二项式系数的和等的二项展开式中，奇数的二项展开式中，奇数nba)( nnn3n2n1n0nC1CCCC01b1a)(, 则则令令 1231n2rn2n0nCCCCr
2、nnCC12 n第1页/共16页4.()1nxyn展开式共有项。二项式系数：小大小212nnnnC当为偶数时，中间项为第项，二项式系数最大；112212112nnnnnnnCC当为奇数时，中间两项系数最大，它们是第项和第项，。：性性质质4kkknnnCkn )!()()(111 kknCkn11 时，二项式系数增大时，二项式系数增大即即当当21nk11 ,kkn时，二项式系数减小时，二项式系数减小即即当当21nk11 ,kkn第2页/共16页10311.2xx求的展开式中，系数绝对值最大的项和系数最大的项。556110( 1)2kkkkkTCx解：1k 设展开式中系数绝对值最大的项是第项，则1
3、(1)10101(1)10102222kkkkkkkkCCCC1110!110!1!(10)! 2(1)!(9)! 210!110!1!(10)! 2(1)!(11)! 2kkkkkkkkkkkk第3页/共16页11811102311332kkkkkk553322410215TCxx 系数绝对值最大。k当为偶数时，系数才可能最大：002244668810101010101010102 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2CCCCCC451051054511,48322561024即。5310558x第项系数最大，即。第4页/共16页772.(1)(12 )(2)(1 2 )xx求展开式中系数最大的项。
4、求展开式中系数最大的项。1177117722(1)22kkkkkkkkCCCC解：1316533kk55567(2 )672TCxx57(2)TT中间或偏系数最大项必在，只需比较和右。447667( 2)51,( 2)4CC44457( 2 )560TCxx第5页/共16页501313.222i的展开式中，按降幂排列后，偶数项之和等于多少？502 5010013221313()2222iii 解：记，则50250494801250505013113132222222iCCiCi又32i其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为。第6页/共16页14.111121!(1)!3!(3)!5
5、!(5)!(1)!1!nnnnnnn设为偶数，求证：!()!mnnCm nm证明：，135112nnnnnnCCCC原等式由二项式系数的性质，这是成立的。第7页/共16页112211(1) 4444 ( 1)( 1)3nnnnnnnnnnnnCCCC 3(4 1)nn证明：112221144( 1)4( 1)4 ( 1)( 1)nnnnnnnnnnnCCCC 1122114444 ( 1)( 1)nnnnnnnnnnnCCCC 组合恒等式的证明组合恒等式的证明1. 1. 赋值法赋值法第8页/共16页2461357(2)1( 2) cos4( 2) sin4nnnnnnnnnnCCCnCCCC2
6、 cossin( 2) cos( 2) sin4444nnnnnii证明：222 cossin2(1)4422nnniii又12345671nnnnnnnC iCC iCC iCC i 2461357(1)()nnnnnnnCCCi CCCC、两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。第9页/共16页2. 2. 倒序相加法倒序相加法1231232nnnnnnCCCnCn求证：12323nnnnnsCCCnC证明：记，123123(1)nnnnnsCCCnCn则1221(1)(2)2nnnnnnsnCnCCCn12122nnnnsnCnCnCn两式相加，得011()2nnnnnnnn CCCCn
7、12nsn 1122,nnnnnnCCCC注意到第10页/共16页3. 3. 通项归一法通项归一法1231(1)232nnnnnnCCCnCn求证：11,kknnkCnC证明：1111nnkknnkkkCnC左边111nknknC110nknknC12nn右边第11页/共16页01211111(2)(21)2311nnnnnnCCCCnn11(1)(1),kknnkCnC证明：111111kknnCCkn123111111()1nnnnnCCCCn左边11(21)1nn右边第12页/共16页4. 4. 比较系数法比较系数法0112112.nnnnnnnnnnC CC CCCC求证：2220(1)nnkknkxC x证明：01220111(1) (1)()()nnnnnnnnnnnnnnnnxxCC xC xC xC xC xCxC2(1)(1) (1)nnnxxx，它们的展开式中各项系数对应相等。11021112nnnnnnnnnnnxC CC CC CC考察的系数，得第13页/共16页5. 5. 组合定义法组合定义法02122222()()()().nnnnnnnCCCCC求证：22nnnnC证明：从个不同元素中选取个元素的取法数是。2n又我们也可将个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法也可按以下分类进行：011220011220nnnnnn
